Artikel ini hendak memberikan penjelasan yang lebih detil tentang Teorema 4.21 yang berjudul Transition Matrix from $B$ to $B^{\prime}$ dari buku Larson (2016) di halaman 212.

Diketahui 2 basis bagi $R^n$, yaitu \(B = \{ \pmb{v}_1, \pmb{v}_2, \ldots, \pmb{v}_n \}\) dan \(B^{\prime} = \{ \pmb{u}_1, \pmb{u}_2, \ldots, \pmb{u}_n \}\) dengan

\[\pmb{v}_1 = \begin{bmatrix} v_{11} \\ v_{21} \\ \vdots \\ v_{n1} \end{bmatrix}, \; \pmb{v}_2 = \begin{bmatrix} v_{12} \\ v_{22} \\ \vdots \\ v_{n2} \end{bmatrix}, \; \ldots, \text{ dan } \pmb{v}_n = \begin{bmatrix} v_{1n} \\ v_{2n} \\ \vdots \\ v_{nn} \end{bmatrix}\]

dan

\[\pmb{u}_1 = \begin{bmatrix} u_{11} \\ u_{21} \\ \vdots \\ u_{n1} \end{bmatrix}, \; \pmb{u}_2 = \begin{bmatrix} u_{12} \\ u_{22} \\ \vdots \\ u_{n2} \end{bmatrix}, \; \ldots, \text{ dan } \pmb{u}_n = \begin{bmatrix} u_{1n} \\ u_{2n} \\ \vdots \\ u_{nn} \end{bmatrix}.\]

Teorema 4.21 bertujuan untuk menghitung matriks transisi yang mengkonversi suatu vektor di basis \(B\) menjadi vektor di basis \(B^{\prime}\). Karena kita hendak mencari bentuk vektor-vektor di basis \(B^{\prime}\) apabila vektor-vektor tersebut dikonversi dari basis \(B\) ke basis \(B^{\prime}\), langkah pertama adalah menulis setiap vektor di $B$ sebagai kombinasi linier dari setiap vektor di $B^{\prime}$ sebagai berikut:

\[\begin{align} \pmb{v}_1 &= d_{11} \pmb{u}_1 + d_{21} \pmb{u}_2 + \cdots + d_{n1} \pmb{u}_n \tag{1}\label{eq:definisi-v} \\ \pmb{v}_2 &= d_{12} \pmb{u}_1 + d_{22} \pmb{u}_2 + \cdots + d_{n2} \pmb{u}_n \\ \vdots &= \vdots \\ \pmb{v}_n &= d_{1n} \pmb{u}_1 + d_{2n} \pmb{u}_2 + \cdots + d_{nn} \pmb{u}_n \end{align}\]

Selanjutnya, matriks transisi dari basis $B$ ke basis $B^{\prime} $adalah $Q$ sedemikian sehingga

\[\begin{bmatrix} d_{11} \\ d_{21} \\ \vdots \\ d_{n1} \end{bmatrix} = Q \pmb{v}_1, \; \begin{bmatrix} d_{12} \\ d_{22} \\ \vdots \\ d_{n2} \end{bmatrix} = Q \pmb{v}_2, \ldots, \begin{bmatrix} d_{1n} \\ d_{2n} \\ \vdots \\ d_{nn} \end{bmatrix} = Q \pmb{v}_n \tag{2}\label{eq:q-awal}\]

Dengan menggunakan notasi Larson (2016) di Subbab 4.7 Coordinate Representation Relative to a Basis pada halaman 208, Persamaan \eqref{eq:q-awal} dapat ditulis menjadi

\[[\pmb{v}_1]_{B^{\prime}} = Q \pmb{v}_1, \; [\pmb{v}_2]_{B^{\prime}} = Q \pmb{v}_2, \ldots, [\pmb{v}_n]_{B^{\prime}} = Q \pmb{v}_n \tag{3}\label{eq:q-akhir}\]

Persamaan \eqref{eq:q-akhir} memperlihatkan bahwa perubahan \(\pmb{v}_1\) yang merupakan vektor di basis \(B\) menjadi \([\pmb{v}_1]_{B^{\prime}}\) dilakukan dengan cara mengalikan \(\pmb{v}_1\) dengan \(Q\). Dengan kata lain, perubahan dari suatu vektor di basis \(B\) menjadi vektor di basis $B^{\prime}$ dilakukan dengan mengalikan vektor di basis \(B\) tersebut dengan matriks transisi \(Q\).

Selanjutnya, kita akan mencari matriks transisi \(Q\) tersebut.

Kita mulai dengan Persamaan \eqref{eq:definisi-v}, yaitu

\[\begin{align} \pmb{v}_1 &= d_{11} \pmb{u}_1 + d_{21} \pmb{u}_2 + \cdots + d_{n1} \pmb{u}_n \\ \Leftrightarrow \begin{bmatrix} v_{11} \\ v_{21} \\ \vdots \\ v_{n1} \end{bmatrix} &= d_{11} \begin{bmatrix} u_{11} \\ u_{21} \\ \vdots \\ u_{n1} \end{bmatrix} + d_{21} \begin{bmatrix} u_{12} \\ u_{22} \\ \vdots \\ u_{n2} \end{bmatrix} + \cdots + d_{n1} \begin{bmatrix} u_{1n} \\ u_{2n} \\ \vdots \\ u_{nn} \end{bmatrix} \\ \Leftrightarrow \begin{bmatrix} v_{11} \\ v_{21} \\ \vdots \\ v_{n1} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} u_{11} & u_{12} & \cdots & u_{1n} \\ u_{21} & u_{22} & \cdots & u_{2n} \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ u_{n1} & u_{n2} & \cdots & u_{nn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d_{11} \\ d_{21} \\ \vdots \\ d_{n1} \end{bmatrix} && \text{Menggunakan bentuk matriks} \\ \Leftrightarrow \begin{bmatrix} d_{11} \\ d_{21} \\ \vdots \\ d_{n1} \end{bmatrix} &= \underbrace{\begin{bmatrix} u_{11} & u_{12} & \cdots & u_{1n} \\ u_{21} & u_{22} & \cdots & u_{2n} \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ u_{n1} & u_{n2} & \cdots & u_{nn} \end{bmatrix}^{-1}}_{Q} \underbrace{\begin{bmatrix} v_{11} \\ v_{21} \\ \vdots \\ v_{n1} \end{bmatrix}}_{\pmb{v}_1} && \text{Cari solusi SPL dengan teknik invers} \\ \Leftrightarrow [\pmb{v}_1]_{B^{\prime}} &= Q \pmb{v}_1 \end{align}\]

Untuk \(\pmb{v}_2\), \(\pmb{v}_3\) \(\ldots\), \(\pmb{v}_n\), dengan cara yang sama juga akan diperoleh bahwa

\[Q = \begin{bmatrix} u_{11} & u_{12} & \cdots & u_{1n} \\ u_{21} & u_{22} & \cdots & u_{2n} \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ u_{n1} & u_{n2} & \cdots & u_{nn} \end{bmatrix}^{-1}\]

Jadi kesimpulannya adalah

Matriks transisi dari \(B\) ke \(B^{\prime}\), yaitu \(Q\) adalah invers dari matriks yang setiap kolom-kolomnya merupakan vektor-vektor dari basis \(B^{\prime}\) atau \(Q = \begin{bmatrix} \pmb{u}_1 & \pmb{u}_2 & \pmb{u}_3 & \cdots & \pmb{u}_n \end{bmatrix}^{-1}\).