Hendra Bunyamin

Forgiven sinner and Lecturer at Maranatha Christian University

Contoh Pembuktian Ruang Vektor dengan sangat Detil

Tunjukkan bahwa himpunan dari semua matriks berukuran $2 \times 3$ beserta operasi matrix addition dan scalar multiplication merupakan sebuah ruang vektor.

Bukti:
Misalkan himpunan dari semua matriks berukuran $2 \times 3$ beserta operasi matrix addition dan scalar multiplication adalah $V$.

Diketahui juga $A$, $B$, dan $C$ adalah matriks berukuran $2 \times 3$ dan $c$, $d$ adalah skalar dengan spesifikasi sebagai berikut:

, , dan .

Larson (2016) subbab 4.2 hlm. 161 menyatakan bahwa pembuktian suatu himpunan merupakan ruang vektor harus memenuhi 10 aksioma. Berikut akan dibuktikan untuk 10 aksioma tersebut.

  1. Apakah $A+B$ juga ada di dalam $V$?
    Ya karena


    merupakan matriks berukuran $2 \times 3 $, berarti $A+B$ juga ada di dalam $V$.

  2. Apakah $A+B = B+A$?
    Ya karena


  3. Apakah $A + (B + C) = (A+B) + C$?
    Ya karena


  4. Apakah $V$ mempunyai matriks nol $\textbf{0}$ sedemikian sehingga untuk setiap matriks $A$ di $V$, $A + \textbf{0} = A$?
    Ada, matriks $\mathbf{0}$ tersebut adalah
    karena

  5. Untuk setiap matriks $A$ di dalam $V$, apakah $V$ mempunyai matriks yang dilambangkan dengan $-A$ sedemikian sehingga $A + (-A) = \mathbf{0}$?
    Ada, matriks $-A$ tersebut adalah karena

  6. Apakah $cA$ juga ada di dalam $V$?
    Ya, karena

    adalah matriks berukuran $2 \times 3$ sehingga $cA$ juga berada di dalam $V$.

  7. Apakah $c(A+B) = cA + cB$?
    Ya karena


  8. Apakah $(c+d)A = cA + dA$?
    Ya karena


  9. Apakah $c(dA) = (cd)A$?
    Ya karena


  10. Apakah $1(A) = A$?
    Ya karena


Karena $V$ memenuhi 10 aksioma dari definisi suatu ruang vektor, $V$ atau himpunan dari semua matriks berukuran $2 \times 3$ beserta operasi matrix addition dan scalar multiplication merupakan sebuah ruang vektor. $\square$


Written on March 22, 2019