Hendra Bunyamin

Forgiven sinner and Lecturer at Maranatha Christian University

Matriks Transisi Antara 2 Basis di Suatu Ruang Vektor

Artikel ini hendak memberikan penjelasan yang lebih detil tentang Teorema 4.21 yang berjudul Transition Matrix from $B$ to $B^{\prime}$ dari buku Larson (2016) di halaman 212.

Diketahui 2 basis bagi $R^n$, yaitu dan dengan

dan

Teorema 4.21 bertujuan untuk menghitung matriks transisi yang mengkonversi suatu vektor di basis menjadi vektor di basis . Karena kita hendak mencari bentuk vektor-vektor di basis apabila vektor-vektor tersebut dikonversi dari basis ke basis , langkah pertama adalah menulis setiap vektor di $B$ sebagai kombinasi linier dari setiap vektor di $B^{\prime}$ sebagai berikut:

Selanjutnya, matriks transisi dari basis $B$ ke basis $B^{\prime} $adalah $Q$ sedemikian sehingga

Dengan menggunakan notasi Larson (2016) di Subbab 4.7 Coordinate Representation Relative to a Basis pada halaman 208, Persamaan \eqref{eq:q-awal} dapat ditulis menjadi

Persamaan \eqref{eq:q-akhir} memperlihatkan bahwa perubahan yang merupakan vektor di basis menjadi dilakukan dengan cara mengalikan dengan . Dengan kata lain, perubahan dari suatu vektor di basis menjadi vektor di basis $B^{\prime}$ dilakukan dengan mengalikan vektor di basis tersebut dengan matriks transisi .

Selanjutnya, kita akan mencari matriks transisi tersebut.

Kita mulai dengan Persamaan \eqref{eq:definisi-v}, yaitu

Untuk , , , dengan cara yang sama juga akan diperoleh bahwa

Jadi kesimpulannya adalah

Matriks transisi dari ke , yaitu adalah invers dari matriks yang setiap kolom-kolomnya merupakan vektor-vektor dari basis atau .


Written on May 16, 2020